#3. Definition of Linearity & Linear System

※ 본 블로그 포스팅은 다양한 Youtube, 무료강의, 블로그 포스팅을 조합하여 개인 공부한 흔적을 남기기 위해 작성되었습니다. 그렇기에 상당수 내용이 쉽게 구할 수 있는 자료와 중복될 수 있음을 알려드립니다. 

Keywords

• Linearity
• Lineaer System
• Identity Element & Inverse Element

Ⅰ. Linearity (선형성)

'선형'이라는 말은 "특정함수나 Operation(연산)이 Linear(선형적)하다."라는 말에 사용될 수 있다. 이와 같이 말하기 위해서는 다음 2가지 조건을 만족해야 한다.

• Superposition(중첩) : $f(x_1+x_2) = f(x_1)+f(x_2)$
• Homogeneity(동종) : $f(ax)=af(x)$, $a$ is constant

즉, 위 2개 조건을 만족하게 되면 $f(a_1x_1+a_2x_2) = a_1f(x_1) + a_2f(x_2)$가 된다.

한편, 특정함수가 Linear하다고 말할 수 있는 기본적인 성질이 하나 존재한다. 그것은 바로 '원점을 지나는' 함수이다.
함수가 아닌 연산의 일종인 미분/적분일 때와 행렬일 때의 Linear함을 살펴보면 기본적으로 superposition과 Homogeneity의 성질은 비슷하되 형태의 차이가 있다.

• 미/적분 : $$\frac{d}{dt}(a_1x_1(t)+a_2x_2(t)) = a_1\frac{d}{dt}x_1(t) + a_2\frac{d}{dt}x_2(t)$$
• 행렬 : Matrix A, Vector x, y  $$A(a_1\mathbf{x_1}+a_2\mathbf{x_2}) = a_1A\mathbf{x_1}+a_2Ax_2$$

Ⅱ. Linear System (연립방정식)

Linear equation (= 선형방정식, $e.g. 3x + 5y = 4$, 차수가 1을 만족해야함!!)

$$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n = b$$
$$\mathbf{a}^{T}\mathbf{x} = b = \mathbf{x}^{T}\mathbf{a}$$
$$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}, \mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}$$

Linear System is set of linear equation! (= 연립방정식은 선형방정식의 집합이다!!)

Ⅲ. Identity Element & Inverse Element (항등원과 역원)

이전부터 쓰여왔고 앞으로도 사용될 기초 개념중 하나인 행렬의 항등원과 역원에 대해 짚어보자.

• Matrix (행렬) : m by n matrix가 존재한다고 가정해보자.
• Identity Element (항등원) : Identity Element의 I를 따서 I라고 표기한다. 대각행렬이 1로만 이루어져있는 matrix를 의미하고 임의의 행렬 A에 항등원I를 곱하면 자기 자신 행렬인 A가 나오게 된다.
  (이때, 교환법칙이 성립한다.)$$I \Rightarrow AI=IA=A$$
• Inverse Element (역원) : 임의의 행렬A에 '어떤 행렬'을 곱했을 때 I라는 항등원이 나오는 것을 말한다.